Pole koła to miara powierzchni zawartej wewnątrz okręgu, a jego wzór wyprowadza się z faktu, że koło można „pociąć” na wąskie wycinki i ułożyć z nich prawie prostokąt o wysokości r i podstawie bliskiej połowie obwodu, czyli πr; stąd pole to iloczyn πr·r, czyli A = πr². Jeśli w danych zamiast promienia r mamy średnicę d, korzystamy z r = d/2 i zapisujemy A = π(d/2)² = (πd²)/4; to przydaje się przy kołach opisywanych średnicą, jak talerze, płyty, pokrywki. Jednostki pola są kwadratowe, dlatego wynik dla centymetrów podajemy w cm², dla metrów w m²; błędem jest podpisywanie wyniku w centymetrach bez kwadratu. Obliczenia warto prowadzić spokojnie: dla r = 6 cm pole wynosi A = π·6² = 36π cm², co daje około 113,097 cm²; gdy d = 20 cm, r = 10 cm, więc A = π·10² = 100π cm² ≈ 314,159 cm²; gdy r = 0,3 m, A = π·0,09 m² ≈ 0,282743 m², co jest wygodne w zadaniach dotyczących malowania lub wykładania podłogi, gdzie metry są jednostką naturalną. W często spotykanych zadaniach o pierścieniu, czyli obszarze między dwoma współśrodkowymi okręgami, pole liczymy jako różnicę pól: A_pierścienia = πR² − πr² = π(R² − r²); na przykład dla R = 5 cm i r = 3 cm otrzymujemy π·(25 − 9) = 16π cm² ≈ 50,265 cm². Jeśli zadanie podaje obwód i prosi o pole, najpierw odzyskujemy promień: skoro C = 2πr, to r = C/(2π), po czym podstawiamy do A = πr², pamiętając o tym, że wstawiając ułamek do kwadratu, podnosimy do kwadratu zarówno licznik, jak i mianownik; dla C = 31,416 cm r ≈ 5 cm, a A ≈ 78,54 cm², ale dokładniej można policzyć, zostawiając π w środku rachunków, co zmniejsza błąd zaokrągleń. Dobrą praktyką jest podawanie wyników w dwóch wersjach: dokładnej z π oraz przybliżonej dziesiętnej, o ile klucz nie zastrzega jednej; zapis 36π cm² jest równie poprawny jak 113,10 cm² po zaokrągleniu do dwóch miejsc. W realnych kontekstach pole koła obrazuje powierzchnię działki okrągłej, tarczy, stołu, patelni, lustra, płyty chodnikowej lub boiska z kołem środkowym; w kuchni najszybciej sprawdzić, ile kawałków pizzy równej wielkości ukroić, zerkając na to, jak zmienia się pole przy zmianie średnicy: gdy średnica rośnie dwa razy, pole rośnie cztery razy, co tłumaczy, dlaczego pizza 40 cm ma cztery razy większą powierzchnię niż 20 cm; to samo dotyczy pokrycia farbą czy dywanem. W zadaniach często pojawia się mieszanka jednostek, na przykład promień w milimetrach i prośba o wynik w centymetrach kwadratowych; wtedy najpierw przeliczamy promień na centymetry, ponieważ pole rośnie z kwadratem jednostki i łatwo o błąd, jeśli próbujemy mnożyć „na skróty”. Przy kątowych fragmentach koła używamy proporcji, że cały kąt 360° odpowiada całemu polu πr², więc wycinek o kącie α° ma pole A_wycinka = (α/360°)·πr²; gdy α = 90°, dostajemy jedną czwartą koła, co w zadaniach z zegarem lub łukiem barwy jest bardzo intuicyjne. Sprawdzanie sensowności wyniku warto oprzeć na szacowaniu: dla r = 5 cm oczekujemy czegoś około 3·25 = 75 cm², bo π bliskie 3, więc wynik 750 cm² sygnalizuje pomyłkę w jednostkach lub podstawieniu d zamiast r. Dodatkowym ćwiczeniem jest odwrócenie zadania: znając pole, wyznaczamy r ze wzoru r = √(A/π), co przydaje się przy projektowaniu okrągłych elementów, kiedy znamy maksymalną powierzchnię, którą wolno zająć. Dzięki tym prostym regułom, spokojnym przekształceniom i dbałości o jednostki pole koła przestaje być „magiczne”, a staje się przewidywalnym rachunkiem, który uczniowie stosują automatycznie w geometrii i w praktyce domowej.
